date: Thu, 22 Jan 2009 12:25:46 +0100 content-transfer-encoding: quoted-printable content-location: mhtml:file://C:\Documents and Settings\UTENTE\Desktop\societa\pensiero\logica_matematica.mht x-mimeole: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2900.5579 from: subject: Boole Frege content-type: text/html; charset="utf-8" mime-version: 1.0 =EF=BB=BF Logica Matematica

 

 

LE ORIGINI DELLA LOGICA MATEMA= TICA:=20

BOOLE E FREGE

 

lezioni=20 1993

 

Questi appunti tratti da alcune lezi= oni di=20 storia della logica sono stati pubblicati, in forma leggermente diversa, i= n "Le=20 origini della logica matematica: Boole e Frege" in L.Malusa (a cura di) Forme=20 del sapere filosofico, CUSL, Genova, 1994 (pp.147-174). In quanto segu= e sono=20 state eliminate tutte le note.


PRIMA PARTE

1. Gli alg= ebristi=20 inglesi e l'analisi matematica della logica di Boole
2. Logica = dei=20 termini nell' Analisi di Boole
3. La logi= ca delle=20 proposizioni in Boole
4. La Inda= gine=20 sulle leggi del pensiero di Boole (1854)
5. Boole e= la=20 fondazione della semiotica
6. La=20 Ideografia di Frege

SECONDA PARTE

7. Freg= e e il=20 linguaggio logico universale
7.1. Capovolgi= mento=20 della teoria del giudizio: la teoria del concetto come funzione;
7= .2. Definizio= ne del=20 condizionale verofunzionale;
7.3 Derivabil= it=C3=A0 dei=20 connettivi;
7.4. Quantifica= tori=20
8. Frege e= il=20 calcolo logico (l'apparato deduttivo)
8.1. Distinzio= ne=20 assiomi-regole: il Modus Ponens;
8.2. Diversi s= istemi=20 di assiomi?;
8.3. Gli assio= mi dei=20 Principi del 1893 e la contraddizione di Russell
9. Filosof= ia e=20 teoria del significato: cos'=C3=A8 il significato di un enunciato?=20
9.1. Il signifi= cato=20 come condizioni di verit=C3=A0: il Tractatus di Wittgenstein;
9.2.= Tautologie= e=20 contraddizioni;
9.3. Il signifi= cato=20 come metodo di verifica ;
9.4. Logica e= =20 filosofia=20

 

 

INTRODUZIONE

 

Nella storia della logica matematica due sono i nomi cui tutti si richi= amano=20 come autori che hanno segnato la svolta decisiva per la nascita della=20 disciplina: Boole e Frege. E, se vogliamo trovare un progenitore comune, v= iene=20 subito il richiamo alla figura di Leibniz, cui entrambi fanno esplicito=20 riferimento. Leibniz ha anticipato molti dei risultati di Boole, anche se = non si=20 sa quanto Boole avesse letto di Leibniz, e anche se molti scritti logici d= i=20 Leibniz rimasero comunque inediti fino a tempi successivi (e in parte sono= =20 inediti a tutt'oggi!). Leibniz per primo per=C3=B2 ebbe la chiara intuizio= ne che si=20 possono fare calcoli non solo con numeri, ma in generale con simboli. Era = il=20 momento della nascita di nuovi calcoli, dalla geometria analitica di Desca= rtes=20 che si basava sugli sviluppi della notazione algebrica, al calcolo=20 infinitesimale, la cui scoperta, nella differenza di notazioni, Leibniz=20 condivideva con Newton. Tali calcoli non usavano solo numeri, ma diversi t= ipi di=20 simboli: lettere, nomi di funzioni, ecc. Leibniz allarga l'ambito del=20 calcolabile a qualsiasi tipo di simboli; di qui nasce il riconoscimento ch= e=20 anche la logica tradizionale pu=C3=B2 essere trattata come un vero e propr= io calcolo,=20 alla stregua del calcolo aritmetico o algebrico, i cui elementi sono simbo= li che=20 rappresentavano non numeri ma classi e proposizioni. Le osservazioni di Le= ibniz=20 passarono inosservate ai pi=C3=B9, e gli stessi suoi allievi, come ad es. = Wolff, non=20 compresero l'originalit=C3=A0 della sua impostazione in logica. I manuali = di logica=20 su cui studiarono i filosofi del '700 e degli inizi dell'800 rimasero cos= =C3=AC=20 semplici rielaborazioni della sillogistica aristotelica, con qualche cenno= alla=20 logica proposizionale degli stoici. Kant, che aveva studiato sui manuali d= i=20 Wolff, riteneva - come asserisce esplicitamente nell'Introduzione della=20 Critica alla Ragion Pura - che la logica formale avesse avuto la su= a=20 formulazione definitiva in Aristotele, e non fosse passibile di alcun prog= resso.=20 Quasi a confermare il punto di vista di Kant, uno storico della logica del= l'800,=20 Prantl, scrisse un'enorme storia della logica, cui ancora oggi =C3=A8 util= e rifarsi=20 come repertorio, per dimostrare che la logica non ha avuto alcuna evoluzio= ne, e=20 da Aristotele in poi non vi =C3=A8 stato altro che un chiarimento e divers= i modi di=20 esposizione di quello che si pu=C3=B2 chiamare la logica formale, c= io=C3=A8 la=20 logica aristotelica, in particolare la dottrina del sillogismo. [torna= =20 all'indice]

PRIMA PARTE

1. Gli algebristi inglesi e L'analisi matematica della logica= di=20 Boole

Non =C3=A8 dunque dai filosofi e dall'ambiente filosofico che vengono i= nnovazioni=20 nella logica, ma dall'ambiente dei matematici, e in particolare degli alge= bristi=20 inglesi della prima met=C3=A0 dell'800. Qui, in reazione al dominio della = notazione=20 newtoniana del calcolo infinitesimale, alcuni matematici (tra cui Babbage = e=20 Peacock) fondarono nel 1812 la Cambridge Analytical Society, societ= =C3=A0 il=20 cui scopo era favorire la diffusione della notazione leibniziana, e di fat= to=20 favorire lo sviluppo dei metodi algebrici dei matematici continentali. Bab= bage=20 divenne famoso per i suoi progetti di macchine di calcolo automatiche. Pea= kock,=20 algebrista di Cambridge, svilupp=C3=B2 una concezione del calcolo come man= ipolazione=20 puramente meccanica di simboli: l'attivit=C3=A0 combinatoria =C3=A8 distin= ta=20 dall'interpretazione dei risultati ottenuti. Peakock =C3=A8 il primo a dis= tinguere=20 esplicitamente una "algebra aritmetica" e una "algebra simbolica". Negli a= nni=20 '30, insieme a queste nuove idee, si svilupp=C3=B2 una grossa disputa tra = il=20 matematico Augustus De Morgan (membro anch'egli della Analitical Societ= y)=20 e il filosofo William Hamilton sulla priorit=C3=A0 di alcune idee sul modo= di=20 trattare il sillogismo. La disputa mostrava dopotutto, sia pur in negativo= , un=20 primo intrecciarsi di interessi comuni tra filosofi e matematici, e portav= a=20 l'attenzione del mondo accademico sulla logica. Ma Hamilton in seguito, al= la=20 fine degli anni '30, critic=C3=B2 aspramente l'irruzione della matematica = nella=20 logica, insistendo sul primato della filosofia sulla matematica e sull'ide= a che=20 la logica =C3=A8 parte della filosofia e non della matematica.

Nel 1847 Boole entra nel vivo della discussione con L'analisi matema= tica=20 della logica, dove, contro Hamilton, sostiene che la logica non deve=20 associarsi alla metafisica, ma alla matematica. Boole reagisce alle posizi= oni di=20 Hamilton e alla sua visione della filosofia e della matematica; ma questo = non=20 implica che Boole auspichi un divorzio tra logica e filosofia, anzi egli h= a=20 molta pi=C3=B9 attenzione per la problematica filosofica di quanta ne abbi= ano la=20 maggior parte dei matematici a lui contemporanei. Dopo i cenni critici all= e idee=20 di Hamilton date nell'introduzione, l'opera di Boole presenta per la prima= volta=20 una vera e propria algebra della logica, un calcolo cio=C3=A8 interpretato= sia come=20 calcolo delle classi (o logica dei termini aristotelica) sia come calcolo = delle=20 proposizioni (o logica stoica). Non si deve cercare nel testo di Boole= =20 l'esatto corrispondente di ci=C3=B2 che oggi si chiama con il nome di "alg= ebra di=20 Boole" o di "operazioni booleane".

Le formulazioni originarie furono sottoposte ad analisi e revisione da = tutta=20 una scuola di pensiero i cui principali rappresentanti sono forse Schr=C3= =B6der e=20 Peirce. Ma, pur con i suoi difetti, L'analisi matematica della logica, d=C3=A0=20 un esempio di cosa si pu=C3=B2 intendere quando si parla di logica intesa = come=20 calcolo che non aveva pari tra gli scritti e gli accenni dei matematici a = lui=20 contemporanei. I principi generali del calcolo si possono riassumere nel m= odo=20 seguente:

 

2. Logica dei termini nell' Analisi di Boole:

 

Dati: 1 il dominio di discorso

x la classe X

1-x la classe non-X (tutti i membri del dominio che non sono X)

xy la classe i cui membri sono sia X che Y

 

si hanno le quattro forme di proposizione categorica aristotelica:

 

A Tutti gli X sono Y xy=3Dx oppure x(1-y)=3D 0

E Nessun X =C3=A8 Y xy =3D 0

I Qualche X =C3=A8 Y xy =3D u (vi =C3=A8 = una classe U non=20 vuota, i cui membri sono sia x che y)

O Qualche X non =C3=A8 Y x(1-y)=3Du (vi = =C3=A8 una classe U=20 non vuota, tra i cui membri vi sono degli X, e qualcosa di ci=C3=B2 che no= n =C3=A8 Y).=20

 

Oltre a dare una "traduzione" delle proposizioni categoriche aristoteli= che=20 secondo modalit=C3=A0 logiche, Boole (i) definisce in termini analoghi le = regole di=20 conversione tramandate tradizionalmente in tutta la storia della logica da= =20 Aristotele in poi per questo tipo di proposizioni; (ii) d=C3=A0 esempi di = sillogismi=20 e mostra come le premesse e le conclusioni del sillogismo possono essere=20 tradotte in termini di operazioni algebriche.

Diamo qui un esempio di sillogismo (di tipo bArbArA) trattato in termin= i di=20 algebra booleana; le due premesse del sillogismo riguardano rispettivament= e le=20 classi X e Y, e Y e Z, e saranno tradotte in due equazioni con i simboli x= , y e=20 z. Eliminando la y (interpretabile come il termine medio del sillogismo) s= i=20 ottiene una equazione che ha come simboli x e z, che sar=C3=A0 interpretab= ile come la=20 conclusione del sillogismo:

 

Tutti gli X sono Y . . x(1-y) =3D 0

Tutti gli Y sono Z . . y(1-z) =3D 0

 

Un modo di vedere il funzionamento del sillogismo =C3=A8 il seguente: <= /P>

Riscriviamo le due equazioni di cui sopra come:

(1) x =3D xy (tutti gli Xsono Y)

(2) y =3D yz (tutti gli Y sono Z)

moltiplichiamo ambo i membri di (2) per x e otteniamo 

(3) xy =3D xyz

d'altra parte, per (1), possiamo sostituire in (3) xy con x e otteniamo= :

(4) x =3D xz

che equivale a x(1-z) =3D 0 che =C3=A8 interpretabile come Tutti gli= X sono=20 Z.

[torna= =20 all'indice]

 

3. La logica delle proposizioni in Boole

Dopo aver trattato la sillogistica, Boole fa un enorme passo in avanti:= usa=20 gli stessi simboli algebrici (lettere e segni di operazione) per trattare = le=20 proposizioni ipotetiche del tipo di quelle che si trovano nel sillogismo=20 condizionale ("se A =C3=A8 B allora C =C3=A8 D; Ma A =C3=A8 B dunque C =C3= =A8 D). Ma invece di=20 trattare i termini del sillogismo, ritiene pi=C3=B9 utile trattare in gene= rale la=20 verit=C3=A0 di proposizioni, cio=C3=A8 formule del tipo:

se X =C3=A8 vera allora Y =C3=A8 vera

In questo caso X e Y rappresentano non pi=C3=B9 classi, ma proposizioni= . Occorre=20 dunque dare ai simboli algebrici una interpretazione diversa da quella del= =20 calcolo delle classi, e cio=C3=A8, prima di tutto, il simbolo "1" assume u= n=20 significato diverso dal significato che ha nella logica dei termini, dove= =20 significa "dominio di discorso" (o insieme delle classi di cui si parla). = Il=20 simbolo "1" in questo caso significher=C3=A0 l'universo, che comprende tut= ti i casi e=20 le congiunture di circostanze concepibili.

Se vi =C3=A8 una sola circostanza concepibile rappresentata da una sola= =20 proposizione X, allora vi sono solo due possibili congiunture: che X sia v= era o=20 X sia falsa; e Boole le esprime cos=C3=AC:

x =3D la proposizione X =C3=A8 vera

1-x =3D la proposizione X =C3=A8 falsa

Se vi sono due circostanze concepibili rappresentate da due proposizion= i X e=20 Y, allora vi sono quattro possibili congiunture cos=C3=AC simbolizzate da = Boole:

X =C3=A8 vera Y =C3=A8 vera =3D xy

X =C3=A8 vera Y =C3=A8 falsa =3D x(1-y)

X =C3=A8 falsa Y =C3=A8 vera =3D (1-x)y

X =C3=A8 falsa Y =C3=A8 falsa =3D (1-x)(1-y) 

E cos=C3=AC via con l'aumentare del numero delle proposizioni. In ogni = caso=20 l'insieme delle combinazioni (o congiunture) delle circostanze concepibili= sar=C3=A0=20 sempre uguale all'Universo, cio=C3=A8 ad 1. Qui si vede come le operazioni= algebriche=20 elementari rispecchiano la validit=C3=A0 dell'interpretazione logica. Date= queste=20 premesse, Boole applica le operazioni algebriche ai sillogismi ipotetici e= alle=20 proposizioni ipotetiche in generale.

4. La Indagine sulle leggi del pensiero di Boole=20 (1854) 

Dopo aver presentato l'ossatura della sua analisi matematica della logi= ca,=20 Boole scrive un'opera di maggior respiro, densa di riflessioni filosofiche= , e in=20 cui all'interpretazione logica dell'algebra si affianca una ampia sezione= =20 dedicata alla teoria della probabilit=C3=A0, che avr=C3=A0 una grande infl= uenza. In questo=20 nuovo e pi=C3=B9 ampio libro, intitolato Indagine sulle leggi del pensi= ero,=20 Boole presenta i risultati del lavoro precedente, con alcuni cambiamenti, = e=20 soprattutto propone il suo lavoro come una ricerca sulle leggi del pensier= o,=20 universali e valide per tutti, e soprattutto pi=C3=B9 generali dei princip= i logici=20 cui tradizionalmente si attribuiva la massima universalit=C3=A0, come il p= rincipio di=20 non contraddizione. Tali leggi generali sono le propriet=C3=A0 di alcune o= perazioni=20 tipiche dell'algebra e che sono comuni anche alla logica, e cio=C3=A8:&nbs= p;

1. xy =3D yx Propriet=C3=A0 commutativa del prodotto

2. x+y=3Dy+x Propriet=C3=A0 commutativa della addizione

3.z(x+y)=3Dzx+zy Propriet=C3=A0 distributiva della moltiplicazione risp= .=20 all'add.

4.z(x-y)=3Dzx-zy Propriet=C3=A0 distributiva della moltiplicazione risp= . alla=20 sottr.

5 Sostitutivit=C3=A0 di elementi uguali rispetto a moltiplicazione, add= izione e=20 sottrazione

    se x=3Dy allora: zx=3Dzy , z+x=3Dz+y , x-z=3Dy-z

6.x2=3Dx Legge degli indici.

 

(Cfr. Laws od Thoughts, cap.II,=C2=A7=C2=A77-15). Nel primo capi= tolo=20 dell'Analisi matematica della logica Boole presentava solo le prime= due=20 leggi e la sesta (sotto una forma parzialmente diversa, cio=C3=A8 xn=3Dx).= Queste leggi=20 rappresentano dunque per Boole propriet=C3=A0 universali delle operazioni = del=20 pensiero. Di queste la pi=C3=B9 problematica =C3=A8 la sesta; Boole la spi= ega ricordando=20 che (i) essa vale in aritmetica binaria, se si accettano cio=C3=A8 solo i = numeri 1 e=20 0 che moltiplicati per se stessi seguono la legge; (ii) vale in logica dei= =20 termini dove l'intersezione di una classe con s=C3=A9 stessa non =C3=A8 al= tro che la=20 classe medesima; (iii) vale in logica delle proposizioni dove la congiunzi= one di=20 una proposizione vera con s=C3=A9 stessa non cambia per nulla il valore di= verit=C3=A0=20 della proposizione. "Piove e piove" =C3=A8 solo un modo rafforzato per dir= e "piove".=20

La legge degli indici =C3=A8 particolarmente importante per la sua gene= ralit=C3=A0,=20 anche perch=C3=A9 da essa si ricava il principio di non contraddizione; in= fatti=20 da

x2=3Dx si deriva x-x2 =3D 0, che si pu=C3=B2 anche riscrivere come: x (= 1-x) =3D 0

Quest'ultima formulazione si pu=C3=B2 interpretare, ad es. nella logica= dei=20 termini, nel seguente modo, dando al simbolo x, per aiutare la comprension= e, la=20 particolare interpretazione di "uomini"; allora "1-x" =C3=A8 interpretabil= e come la=20 classe di tutto ci=C3=B2 che non =C3=A8 un uomo; quindi la formula dice ch= e l'intersezione=20 degli uomini e dei non uomini =C3=A8 vuota, cio=C3=A8 che non =C3=A8 possi= bile essere al tempo=20 stesso uomo e non uomo. Pi=C3=B9 in generale la formula rappresenta

"l'impossibilit=C3=A0, per un essere, di possedere e non possedere una = medesima=20 qualit=C3=A0 nel medesimo tempo. Ma questo =C3=A8 esattamente quel princip= io di=20 contraddizione che Aristotele ha descritto come l'assioma fondamentale di = tutta=20 la filosofia [segue citazione di Met.III,3]. Quello che =C3=A8 stato comun= emente=20 ritenuto l'assioma fondamentale della metafisica non =C3=A8 altro che la c= onseguenza=20 di una legge del pensiero, matematica quanto alla sua forma." (Laws of= =20 Tought, cap.3,=C2=A715). 

[torna= =20 all'indice]

 

5. Boole e la fondazione della semiotica

Il progetto generale della logica di Boole si pu=C3=B2 dunque riassumer= e nella=20 visione di una scienza universale dell'uso dei simboli, che ha alla base (= i) il=20 riconoscimento di alcune propriet=C3=A0 generali di certe operazioni; (ii)= la=20 possibilit=C3=A0 di interpretare tali operazioni, e i simboli ad esse conn= essi, in=20 modi diversi, secondo uno schema di questo genere: 

CALCOLO UNIVERSALE DEI=20 SIMBOLI

LEGGI universali del pensiero

commutativit=C3=A0 e associativit=C3=A0

 

SEGNI
INTERPR. MATEMATICA
INTERPRETAZIONE
 LOGICA
LOG.TERMINI
LOG. PROPOSIZIONI
x, y, ...
numeri 
classi 
proposizioni
+
addizione
unione
disgiunzione (OR)
X
moltiplicazione 
intersezione 
congiunzione (AND)
1
1
Dominio
Vero
0
0
Classe Vuota 
Falso

Chi pi=C3=B9 di ogni altro ha sviluppato gli aspetti filosofici del pro= getto=20 booleano =C3=A8 probabilmente il filosofo americano Charles S. Peirce, che= in una=20 serie di saggi orami famosi, ha insistito sulla necessit=C3=A0 di elaborar= e una=20 scienza generale dei segni, una "semiotica" che dovrebbe porsi come= base=20 e presupposto per ogni scienza. Ma mentre negli Stati Uniti Peirce svilupp= ava la=20 sua idea di semiotica che tanto ha avuto eco anche nella nostra cultura=20 filosofica, in Europa Gottlob Frege rifletteva su alcuni problemi legati a= l=20 progetto booleano e presentava alcune idee alternative che condurranno all= a=20 nascita della logica matematica moderna.  

[torna= =20 all'indice]

 

6. La Ideografia di Frege

Il problema di Frege con l'algebra di Boole =C3=A8, a tutta prima, piut= tosto=20 semplice: Frege =C3=A8 un matematico che cerca di eliminare dal ragionamen= to=20 matematico le approssimazioni, le vaghezze e l'arbitrariet=C3=A0 che spess= o nascono=20 dal ricorso all'intuizione; vuole in una parola rendere rigoroso il ragion= amento=20 matematico; ha dunque bisogno di uno strumento formale, un linguaggio logi= co,=20 per esprimere il ragionamento matematico in termini rigorosi. Questo lingu= aggio=20 non pu=C3=B2 essere per=C3=B2 l'algebra di Boole, perch=C3=A9 in essa oper= azioni diverse sono=20 rappresentate dallo stesso segno, e si creerebbero continue ambiguit=C3=A0= : quando il=20 segno "+" rappresenta la somma aritmetica, e quando la unione di classi o = la=20 disgiunzione di proposizioni? Quando il segno "1" rappresenta un numero e = quando=20 un dominio di discorso? In una parola, la possibilit=C3=A0 di usare gli st= essi segni=20 (con le stesse regole) con interpretazioni diverse, che era il punto di fo= rza=20 dell'algebra di Boole, diviene, nell'ottica di Frege, un segno di debolezz= a.=20 Frege si richiama a Leibniz che voleva unire a un calcolo una vera lingua= =20 universale in cui parlare di qualsiasi scienza: il progetto leibniziano er= a=20 unire una lingua, o "characteristica universalis" a un "calculus ratiocina= tor":=20 =C3=A8 a questo ideale che Frege si richiama nel suo scritto del 1879, il = cui titolo=20 Begriffsschrift ("Scrittura concettuale" o "Ideografia"), richiama= =20 l'ideale leibniziano con lo stesso termine suggerito da Trendelenburg, un= =20 filosofo tedesco che discuteva a quei tempi il progetto leibniziano. Il li= mite=20 di Boole, rispetto al progetto di Leibniz, =C3=A8 che l'algebra della logi= ca ci=20 fornisce solo un calcolo; la risposta di Frege =C3=A8 di accoppiare il cal= colo a una=20 lingua universale, secondo uno schema che potremmo inquadrare, come si fa= =20 solitamente in molti manuali di logica, nel modo seguente:

 

 

SISTEMA FORMALE=20


LINGUAGGIO
CALCOLO (Apparato=20 Deduttivo)
Vocabolario
Assiomi
Regole di Buona Formazione
Regole di Trasformazione
Formule Ben Formate
Teoremi

 

Con il richiamo alla necessit=C3=A0 di unire linguaggio e calcolo, Freg= e imposta=20 una serie di rivoluzioni concettuali che differenziano il suo approccio da= =20 quello di Boole. La originalit=C3=A0 della sua notazione e la stessa novit= =C3=A0 della sua=20 impostazione non favorirono l'immediato diffondersi delle sue idee, che an= zi=20 furono osteggiate da matematici e da filosofi. Frege comment=C3=B2 breveme= nte la sua=20 sfortuna dicendo che i suoi testi venivano accolti di solito con reazioni = del=20 tipo: "metaphisica sunt non leguntur! Mathematica sunt non leguntur= !".=20 Senza perderci nei dettagli storici della fortuna/sfortuna dei lavori di F= rege=20 vediamo i principali risultati della sua opera del 1879, usando anche i co= mmenti=20 dello stesso Frege scritti negli anni immediatamente successivi (e riporta= ti=20 nell=C3=95antologia di scritti postumi, tradotta da Eva Picardi).

Dividiamo i risultati di Frege in quelli che riguardano l'elaborazione = del=20 linguaggio logico e quelli che riguardano l'apparato deduttivo (il calcolo= ).=20 Seguono alcune riflessioni di carattere pi=C3=B9 generale.

[torna= =20 all'indice]

 

SECONDA PARTE

 

7. Frege e il linguaggio logico universale

 

In generale il capovolgimento proposto da Frege rispetto all'ottica boo= leana=20 =C3=A8 simile al capovolgimento proposto dagli stoici rispetto alla logica= =20 aristotelica. Gli stoici distinguevano le proposizioni in semplici (come=20 "piove", "c'=C3=A8 il sole", ecc.) e complesse (come "se piove allora mi b= agno", "c'=C3=A8=20 il sole e non mi bagno", ecc.); le proposizioni che formavano le premesse = del=20 sillogismo aristotelico come

 

(1) "tutti gli uomini sono mortali"

 

non sono considerate proposizioni semplici dal contenuto complesso, ma= =20 proposizioni complesse, costituite da due proposizioni connesse con un=20 condizionale, cio=C3=A8:

 

(2) "se qualcosa =C3=A8 un uomo, allora esso =C3=A8 mortale"

Il lavoro di Frege (che peraltro non pare conoscesse queste idee della = logica=20 stoica) consiste nel dare rigore e sistematizzare intuizioni di questo gen= ere;=20 per Frege la (1) e la (2) sono enunciati con lo stesso contenuto concettua= le,=20 con lo stesso senso, ma la seconda formulazione =C3=A8 da prediligere alla= prima=20 perch=C3=A9 rende pi=C3=B9 chiara la connessione logica. La critica di Fre= ge a Boole tocca=20 diversi aspetti del pensiero logico tradizionale, a volte criticandoli, a = volte=20 assumendoli e dando loro rigore. Vediamone alcuni.

[torna= =20 all'indice]

 

7.1. Capovolgimento della teoria del giudizio: la teoria del concett= o come=20 funzione

Nella logica tradizionale, cui Boole aderisce in pieno, =C3=A8 usuale=20 distinguere:

dottrina dei termini

dottrina delle proposizioni

dottrina del sillogismo

Usualmente inoltre tale suddivisione della logica andava unita a una te= oria=20 della conoscenza che considerava le operazioni della mente in modo coerent= e con=20 la tripartizione della logica e cio=C3=A8:

apprensione semplice di concetti o idee

giudizio

ragionamento

Si avrebbe cio=C3=A8 dapprima l'operazione di astrazione che=20 dall'esperienza trae i concetti (gli universali) e dalla unione e separazi= one di=20 tali concetti ne forma altri nuovi; il giudizio consisterebbe nel porre in= =20 relazione tali concetti dati; infine il ragionamento comporrebbe assieme d= iversi=20 giudizi. Ci=C3=B2 che Frege ritiene fuorviante in questa prospettiva =C3= =A8 la riduzione=20 della formazione dei concetti al procedimento dell'astrazione; se la forma= zione=20 di nuovi concetti si riduce alla semplice combinazione di concetti preesis= tenti,=20 non si riesce mai a creare alcun concetto effettivamente nuovo. Con una mo= ssa=20 che gi=C3=A0 Kant aveva abbozzato, Frege capovolge l'ordine di priorit=C3= =A0 e pone i=20 giudizi prima dei concetti: =C3=A8 dai giudizi che traiamo i concetti e no= n=20 viceversa. Questa idea fregeana detta "tesi della priorit=C3=A0 dei giudiz= i sui=20 concetti", si riflette nella strategia fregeana del "principio di estrazio= ne=20 delle funzioni". Frege esemplifica questa mossa con un esempio elementare:= =20 prendiamo un giudizio come

"Catone uccise Catone"

Da questo giudizio possiamo "estrarre" diverse funzioni o diversi conce= tti,=20 ad es. i tre concetti di "assassinato da Catone", "assassino di Catone" e= =20 "suicida", che possiamo considerare come strutture o forme comuni a pi=C3= =B9=20 enunciati:

(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(2) . . . . . . . . . . . = . . .=20 . . . . . . . .(3)

Catone uccise (x) . . . . . . . . . . .(x) uccise Catone = . .=20 . . . . . . . . . (x) uccise (x)

forma comune a: . . . . . . . . . . . .forma comune a: . . . . . . . . = . . .=20 .forma comune a:

Catone uccise Nerone . . . . . . . .. Nerone uccise Catone . . . . . . = . .=20 Catone uccise Catone

Catone uccise Seneca . . . . . . . . .Seneca uccise Catone . . . . . . = . .=20 .Seneca uccise Seneca

 

La forma comune a tutte queste classi di enunciati =C3=A8 la forma (= x) uccise=20 (y), e la (3) =C3=A8 ovviamente un caso particolare di quest'ultima. S= i nota=20 subito che Frege qui equipara concetti e funzioni. In un articolo del 1891= =20 ritorna su questa equiparazione in dettaglio mostrando come per lui un con= cetto=20 non =C3=A8 altro che un tipo particolare di funzione. Frege, cio=C3=A8, ge= neralizza il=20 concetto di funzione (che era stato fondamentale per gli sviluppi del calc= olo=20 infinitesimale) al calcolo riguardante simboli in generale, e in particola= re le=20 espressioni linguistiche. Il concetto di "assassino di Catone" =C3=A8 cio= =C3=A8 analogo a=20 una funzione (x) uccise Catone che ha un posto di argomento che qua= ndo=20 viene saturato da un'espressione d=C3=A0 come valore della funzione non un= valore=20 numerico come per le normali funzioni matematiche, ma un "valore di verit= =C3=A0".=20 Frege con questa mossa anticipa una distinzione oggi usuale: se pensiamo a= llo=20 schema della funzione che si usa comunemente in matematica,

f (x) =3D y

possiamo distinguere due tipi diversi di espressioni funzionali; da una= parte=20 i funtori che sono espressioni che come valori danno oggetti di un = certo=20 tipo (ad es.numeri) e dall'altra i predicati (cio=C3=A8 le espressi= oni=20 linguistiche che stanno per concetti o relazioni), che danno come valori v= alori=20 di verit=C3=A0. Questo risultato permette di unificare in un'unica notazio= ne concetti=20 e relazioni (la cui differenza era particolarmente rilevante nella discuss= ione=20 tradizionale sugli universali); semplicemente i concetti saranno analoghi = a=20 funzioni con un argomento e le relazioni a funzioni con pi=C3=B9 argomenti= . Concetti=20 come "pari", "dispari", "saggio", ecc. verranno rappresentati come predica= ti=20 monadici, o a un posto d'argomento, del tipo P(x), D(x), S(x); rela= zioni=20 come "maggiore di", "ama", "odia", ecc. verranno rappresentati come predic= ati=20 diadici,o a due posti d'argomento, del tipo M(x,y), A(x,y), O(x,y).= E=20 cos=C3=AC via. Tutte queste espressioni sono analoghe a funzioni e hanno c= ome valori=20 valori di verit=C3=A0.

Sulla base dell'analogia con la funzione quindi Frege definisce il=20 concetto come "una funzione che ha come valore un valore di verit=C3=A0".<= /I> Quello=20 che Frege chiama "concetto" sar=C3=A0 chiamato da Russell "funzione propos= izionale";=20 con questo nome Russell intende una funzione che, quando saturata, d=C3=A0= luogo a=20 una proposizione il cui valore =C3=A8 Vero o Falso. Questi cenni sull'idea= fregeana=20 della formazione dei concetti vanno letti sullo sfondo della sua invenzion= e dei=20 quantificatori (vedi poi), che =C3=A8 strettamente connessa a questa notaz= ione=20 funzionale; in questo modo, mostra Frege, =C3=A8 possibile costruire conce= tti=20 effettivamente nuovi utilissimi per lo sviluppo della matematica, e che no= n si=20 possono ricondurre al procedimento di astrazione.

[torna= =20 all'indice]

7.2. Definizione del condizionale verofunzionale

La definizione fregeana del condizionale =C3=A8 quasi identica a quella= data a suo=20 tempo da Filone il megarico; date due proposizioni qualsiasi, A e B, Frege= =20 ricorda che si hanno solo quattro possibilit=C3=A0 di combinazione (come g= i=C3=A0 Boole;=20 cfr. =C2=A7 3 pi=C3=B9 sopra):

A vero B vero

A vero B falso

A falso B vero

A falso B falso 

Asserire "se A allora B", in simboli "A -->B", significa che si escl= ude la=20 seconda di questa combinazioni. Perch=C3=A9 questa scelta? Frege ritiene c= he questo=20 modo di usare il simbolo per "se...allora" sia particolarmente utile per l= a=20 perspicuit=C3=A0 della deduzione logica, in particolare per le dimostrazio= ni per=20 assurdo (ove si ritiene che il tutto sia falso se da una premessa assunta = come=20 vera si deriva il falso). Non vuole con questo catturare tutte le sfumatur= e=20 dell'espressione "se...allora" nel linguaggio naturale, ma dare una conven= zione=20 precisa cui attenersi, precisare il significato con cui si deve intendere = il=20 simbolo "--> " nel linguaggio formale. Torneremo su questo nel =C2=A7 9= . Qui basta=20 ricordare che anche il segno "--> " =C3=A8 analogo a una funzione; in q= uesto caso=20 una funzione che ha come argomenti (coppie di) valori di verit=C3=A0 e com= e valori=20 valori di verit=C3=A0. Da Frege in poi si usa dunque chiamare i connettivi= logici o=20 le proposizioni composte con essi anche "funzioni di verit=C3=A0".

[torna= =20 all'indice]

 

7.3 Derivabilit=C3=A0 dei connettivi - Definito il significato d= el simbolo=20 "_ " Frege mostra che, dato che esso =C3=A8 definito rigorosamente dai suo= i valori di=20 verit=C3=A0, pu=C3=B2 servire, come base per definire altre forme di compo= sizione di=20 enunciati, cio=C3=A8 altri connettivi come "e" ed "o". E' quanto Frege fa,= dopo aver=20 definito la negazione "non" come una funzione con un posto di argomento.=20 L'argomento =C3=A8 elementare: un enunciato A pu=C3=B2 essere Vero o Falso= (principio di=20 bivalenza). La sua negazione =C3=A8 una funzione che, se ha per argomento = il Vero d=C3=A0=20 come valore il Falso e viceversa.

A . . .non A

-----------------

V . . . . .F

F . . . . .V

Componendo il condizionale ("--> ") con la negazione (" - ") Frege o= ttiene=20 le tavole di verit=C3=A0 del VEL ("o" disgiuntivo), dell'AUT ("o" alternat= ivo) e=20 dell'AND (anche se egli non le chiama cos=C3=AC, e le esprime con il suo s= imbolismo=20 bidimensionale senza dare le tavole di verit=C3=A0 nella forma in cui si d= anno=20 attualmente). Definisce cio=C3=A8 per la prima volta nella logica ci=C3=B2= che si chiama=20 una "base di connettivi", cio=C3=A8 i connettivi sufficienti a definire tu= tti gli=20 altri. Russell e Whithehead useranno per il suo sistema, i Principia=20 Mathematica, una base di connettivi che consiste nella negazione e=20 disgiunzione. Wittgenstein e Post nel 1921 useranno un unico connettivo,=20 chiamato "funtore di Sheffer"(oggi si chiamano NAND e NOR).

[torna= =20 all'indice]

7.4. Quantificatori -

Frege =C3=A8 passato alla storia come l'inventore dei quantificatori; i= l problema=20 era da tempo nell'aria, ma nella scuola booleana non si arrivava a una=20 definizione esatta del problema. Frege la diede nel 1879. Ed =C3=A8 quella= che=20 permette la fusione della logica proposizionale di tradizione stoica con l= a=20 logica dei termini di tradizione aristotelica. Abbiamo visto (inizio =C2= =A7 7) che=20 gli stoici consideravano la proposizione universale "tutti gli uomini sono= =20 mortali" come un insieme di due proposizioni, cio=C3=A8 "se qualcosa =C3= =A8 un uomo,=20 allora esso =C3=A8 mortale". Ma questo non permetteva di trattare corretta= mente il=20 sillogismo aristotelico, le cui regole erano organizzate per il primo modo= di=20 considerare la proposizione. Il problema sta nella interpretazione dei ter= mini=20 che i medioevali chiamavano "sincategorematici" (cio=C3=A8 tali da connett= ere insieme=20 diverse categorie), in particolare "tutti" e "qualche", che chiameremo=20 "espressioni di generalit=C3=A0". Per Frege tali termini possono essere co= nsiderati=20 come una specie di operatori, o funzioni di secondo livello, come egli ste= sso=20 diceva, che "vincolano" i posti di argomento delle funzioni cui si riferis= cono.=20 L'idea fregeana si pu=C3=B2 cogliere meglio tramite esempi (Frege usa un s= imbolismo=20 speciale per la quantificazione che nessun altro user=C3=A0 in seguito. Il= simbolismo=20 attuale e altri simbolismi usati derivano dalle scritture di Peano e=20 Peirce).:

 

 

(1) tutti gli uomini sono mortali si pu=C3=B2 riscrivere: " x (Ux -->Mx)

che si pu=C3=B2 leggere: "per tutte le x, se x =C3=A8 un uomo, allora x= =C3=A8 mortale"

(2) tutti i ragazzi amano qualche fanciulla si pu=C3=B2 riscrivere

" x$ y (Rx &am= p;Fy=20 -->Axy), che si pu=C3=B2 leggere:

"per tutti gli x, esiste un y tali che, se x =C3=A8 un ragazzo e y una = ragazza,=20 allora x ama y"

Si pu=C3=B2 notare l'uso del condizionale. Ai tempi di Frege, alcuni bo= oleani=20 avevano suggerito l'uso del condizionale, ma limitatamente alla logica=20 enunciativa; nel 1883 inoltre Peirce introduceva un'analoga notazione per = i=20 quantificatori, ma al di fuori del contesto di sistema formale che era pre= sente=20 invece in Frege. La grandezza di Frege =C3=A8 la sua sintesi unitaria in c= ui tutti=20 gli spunti che stavano faticosamente chiarendosi nella scuola booleana ven= gono=20 alla luce in un sistema unitario in cui viene definitivamente abbandonata = la=20 separazione tra logica proposizionale e logica dei termini (che da Frege i= n poi=20 viene considerata come una sottoparte della logica o calcolo dei predicati= ). La=20 logica proposizionale diviene pi=C3=B9 fondamentale perch=C3=A9 pi=C3=B9 g= enerale; ma il modo=20 in cui =C3=A8 costruita permette la sua estensione naturale alla logica de= i termini.=20 Alla fine del primo capitolo della Ideografia Frege presenta la tav= ola=20 delle opposizioni aristotelica con la sua scrittura:

(A) tutti gli F sono G . . . .(E) nessun F =C3= =A8=20 G

"x (Fx --> Gx) . . . . . . . ."x (Fx --> - Gx)

Per tuttix,se x =C3=A8 F =C3=A8 G . . . . . . . .. Per = tuttix,se x =C3=A8 F=20 non =C3=A8 G

 

(I) qualche F =C3=A8 G . . . . . . .(O) qualche F non = =C3=A8 G

$ x (Fx &Gx) . . . . . . . . . . .$ x(Fx & - Gx)

Per qualche x, x =C3=A8 F ed =C3=A8 G . . . . . . . Per= qualche x, x =C3=A8 F=20 e non =C3=A8 G

 

Se solo questo fosse stato il risultato, sarebbe gi=C3=A0 abbastanza. P= erch=C3=A9 Frege=20 qui non si limita a ricostruire, come Boole, la logica dei termini di=20 Aristotele, ma la costruisce come estensione propria della logica=20 proposizionale: parte dagli stessi segni e le stesse regole della logica=20 proposizionale (i connettivi logici e le regole di composizione verofunzio= nale)=20 e aggiunge a questi la notazione dei quantificatori che si integrano=20 perfettamente nelle regole di composizionalit=C3=A0. Ma la notazione della= =20 quantificazione permette anche qualcosa di pi=C3=B9 della semplice traduzi= one del=20 calcolo aristotelico dei termini; permette infatti anche di esprimere in m= odo=20 non ambiguo anche frasi in cui compare pi=C3=B9 di una espressione di gene= ralit=C3=A0, del=20 tipo "tutti i ragazzi amano una fanciulla"(il problema delle espressioni c= on=20 generalit=C3=A0 multipla era stato molto discusso nel medioevo e nel rinas= cimento=20 senza trovare adeguata soluzione). La trovata di Frege sta nell'idea di=20 ambito, da lui sviluppata con chiarezza nei suoi Principi fondam= entali=20 dell'aritmetica (1893). La frase (2) sopra riportata =C3=A8 infatti am= bigua,=20 potendo significare che: (a) ciascun ragazzo ha una fanciulla da amare e (= b) una=20 qualche fanciulla =C3=A8 amata da ogni ragazzo. Per distinguere le due let= ture Frege=20 cambia l'ordine dei quantificatori, rispettivamente:

(2a) " x (Rx --> $ y (Fy --> Axy)

(2b) " y (Fy -->$ x (Rx -->Axy)

(L'esempio di ragazzi e ragazze che si amano =C3=A8 di Peirce, non di F= rege)

L'ordine dei quantificatori cio=C3=A8 determina l'ambito in cui essi fu= nzionano,=20 costituisce cio=C3=A8 una specie di filtro: se il quantificatore universal= e precede=20 l'universale, si ha una lettura "distribuita"; se il quantificatore partic= olare=20 o esistenziale precede il quantificatore universale, cambia l'interpretazi= one.=20 Il quantificatore che precede viene detto avere "ambito" o "raggio d'azion= e" pi=C3=B9=20 ampio" di quello che segue. Tramite l'uso dell'ordine dei quantificatori F= rege=20 riesce a costruire concetti matematici complessi che non possono essere ri= dotti=20 a una mera relazione tra concetti data con le regole booleane.

[torna= =20 all'indice]

  

8. Frege e il calcolo logico (l'apparato deduttivo)

 

8.1. Distinzione assiomi-regole: il Modus Ponens

Per la prima volta nella storia della logica Frege fa una distinzione=20 esplicita che diverr=C3=A0 fondamentale nel XX secolo; quella tra assiomi = logici e=20 regole logiche (tale distinzione =C3=A8 alla base del famoso apologo di Ac= hille e la=20 Tartaruga di Lewis Carroll , scritto negli anni in cui Frege scriveva i=20 Principi, e pubblicato nel 1893). Frege richiama la necessit=C3=A0 di rego= le per=20 realizzare la deduzione; gli stoici e Aristotele ne avevano tramandate div= erse,=20 a volte sotto forma di principi primi. Frege distingue le regole dagli ass= iomi=20 in modo netto, anche nella scrittura. Gli assiomi sono asserti, punti di=20 partenza del sistema logico; le regole non sono asserti, ma strategie=20 inferenziali. Ma dell'elenco di regole che si potevano recuperare dalla=20 tradizione Frege riconosce che una sola =C3=A8 sufficiente, la regola del = MODUS=20 (ponendo) PONENS, o regola di separazione.

Frege la presenta cos=C3=AC: dato |- (A --> B) e dato |- A si pu=C3= =B2 derivare |-B,=20 o, in colonna:

|- (A--> B)

|- A

--------------

|- B

Si noti il segno " |- " che non corrisponde esattamente al segno di=20 derivazione oggi usuale, ma =C3=A8 un segno speciale usato da Frege e chia= mato "segno=20 di asserzione". Serve a ricordare che nella prima riga non si asserisce n= =C3=A9 A n=C3=A9=20 B ma solo la verit=C3=A0 del condizionale A --> B. Si asserisce cio=C3= =A8 che dei=20 quattro casi possibili si esclude il secondo:

1. A vero B vero

2. A vero B falso

3. A falso B vero

4. A falso B falso

Restano dunque validi gli altri tre casi. Se si asserisce la verit=C3= =A0 di A si=20 escludono a loro volta gli ultimi due casi. Resta dunque solo il caso 1. E= in=20 questo caso B =C3=A8 Vero. Dunque la conclusione =C3=A8 confermata.

 

8.2. Diversi sistemi di assiomi?

Una volta definita la distinzione assiomi-regole Frege passa presentare= il=20 suo calcolo formale elencando gli assiomi. Frege riconosce che questi assi= omi=20 non sono gli unici possibili; altri assiomi possono essere dati in modo ta= le da=20 derivare le stesse leggi del pensiero; il sistema di Assiomi=20 dell'Ideografia di Frege consiste dei seguenti assiomi:

 

1. p -> (q ->p)

2. p -> (q ->r) -> ((p ->q) -> (p-> r)

3. (p -> (q -> r)) -> (q -> (p -> r)) (scambio=20 dell'antecedente)

4. (p ->q) -> (- q -> - p) (contrapposizione)

5. - - p -> p

6. -> - - p

7. (x =3D y) -> (Px -> Py)

8. x =3D x

9. " x Px -> Py

 

Si pu=C3=B2 notare l'assioma 8, il principio di identit=C3=A0; il princ= ipio di non=20 contraddizione =C3=A8 invece un teorema derivabile. E' da notare anche che= Frege usa=20 6 assiomi per il calcolo proposizionale; il sistema di Russell dei Prin= cipia=20 Mathematica usa 5 assiomi; nel 1921 il logico polacco Lukasievicz most= ra che=20 il sistema di assiomi di Frege =C3=A8 equivalente (ha la stessa capacit=C3= =A0 di generare=20 teoremi) di un sistema con tre soli assiomi: i primi due di Frege e un ter= zo che=20 viene cos=C3=AC formulato

 

(- p -> - q) -> (q -> p)

 

Una formulazione di un sistema assiomatico moderno, il Bell-Machover (m= anuale=20 pubblicato nel 1977), usa i seguenti tre schemi di assiomi:

 

1. p -> (q -> p)

2. p -> (q -> r) -> ((p -> q) -> (p - > r)

3. (- p -> q) -> (( - p -> - q) -> p).

 

Come si pu=C3=B2 notare esso ha come primi due assiomi gli assiomi del = sistema=20 fregeano, il primo sistema assiomatico del calcolo proposizionale e predic= ativo=20 della storia della logica.

[torna= =20 all'indice]

 

8.3. Gli assiomi dei Principi del 1893 e la contraddizione di=20 Russell

 

L'opera maggiore di Frege venne pubblicata nel 1893. Essa presentava un= =20 sistema di assiomi con assiomi specifici per la aritmetica; era il primo s= istema=20 assiomatico di logica "applicata". Ma non era esente da problemi; Russell= =20 individu=C3=B2 infatti nel sistema fregeano la possibilit=C3=A0 di derivar= e non solo=20 teoremi, ma una contraddizione. E, dato che secondo un famoso principio de= tto=20 dello "pseudo-Scoto" (dimostrabile anche nel sistema di Frege), da una=20 contraddizione si pu=C3=B2 derivare qualsiasi cosa ("ex falso quodlibet), = il sistema=20 veniva minacciato di "banalit=C3=A0". Frege reag=C3=AC con grande composte= zza e=20 ammirazione per la critica di Russell: pubblic=C3=B2 il secondo volume del= suo lavoro=20 insieme alla lettera in cui Russell presentava la contraddizione e un suo= =20 tentativo di soluzione. Abbandon=C3=B2 poi ogni tentativo di soluzione (fo= rse si rese=20 conto che il suo tentativo non funzionava, come dimostr=C3=B2 pi=C3=B9 tar= di Lukasiewicz)=20 e dedic=C3=B2 gli ultimi anni della sua vita a riflettere sui problemi fil= osofici pi=C3=B9=20 generali connessi alla definizione di cos=C3=95=C3=A8 la logica (il proble= ma della=20 negazione, della riducibilit=C3=A0 dei connettivi, del significato degli e= nunciati,=20 ecc.).

Data la eco che ha avuto nella storia della logica, vale la pena presen= tare=20 una versione semplificata della contraddizione di Russell. Il sistema di F= rege=20 assume il principio, chiamato Principio di Comprensione, per cui, d= ata=20 una propriet=C3=A0, si pu=C3=B2 assumere l'esistenza di un insieme ben det= erminato che=20 corrisponde a questa propriet=C3=A0. Russell mostra che non =C3=A8 detto c= he, dato un=20 concetto o una propriet=C3=A0, si possa sempre definire un insieme ad esso= =20 corrispondente, senza cadere in contraddizioni. L'argomentazione base di R= ussell=20 =C3=A8 un'argomentazione per assurdo: assumiamo che a qualsiasi propriet= =C3=A0 corrisponda=20 un insieme. Prendiamo come propriet=C3=A0 quella definita come "non appart= enere a se=20 stessi", cio=C3=A9 x =C3=8Fx.=20 Vi sar=C3=A0, per il principio di comprensione, una classe definita da que= sta=20 propriet=C3=A0, cio=C3=A8 la classe di tutte le classi che hanno la propri= et=C3=A0 di non=20 appartenere a se stesse. Nomineremo questa classe R per ricordarci = il=20 nome del suo inventore. La domanda di Russell =C3=A8 la seguente: la class= e R=20 appartiene a s=C3=A9 stessa o no? Gode cio=C3=A8 essa stessa della proprie= t=C3=A0 che la=20 definisce? Vi sono due casi possibili:

1) la classe R appartiene a s=C3=A9 stessa (R =C3= =8E R);=20 quindi gode della propriet=C3=A0 che caratterizza la classe R (la classe d= elle classi=20 che non appartengono a se stesse) e quindi non appartiene a se stessa:

  R =C3=8E R =C3=86= R =C3=8F R

2) la classe R non appartiene a se stessa (R =C3=8F= R); quindi gode della propriet=C3=A0 sopra defini= ta, quindi fa=20 parte delle classi che appartengono alla classe R, costituita per definizi= one da=20 tutte le classi che non appartengono a se stesse; in simboli:

R =C3=8F R =C3=86 R=C3=8E R.

Da cui R=C3=8E R =C2=B4<= /FONT> R =C3=8F R che =C3=A8 una palese contraddizione.

(Una scorciatoia =C3=A8 definire la classe R cos=C3=AC: "x appartiene a= R se e solo se=20 x non appartiene a se stesso": cio=C3=A9 X=C3=8E R =C2=B4 X =C3=8FX. Sostitue= ndo X con R si ha=20 immediatamente la contraddizione voluta:R =C3=8E R =C2=B4 R =C3=8F R ).

La risposta di Russell e della maggior parte dei logici successivi a qu= esta=20 contraddizione =C3=A8 che occorre porre restrizioni al principio di compre= nsione.=20 Frege ritenne la teoria degli insiemi responsabile della confusione che si= era=20 creata (e Wittgenstein segu=C3=AC Frege su questo punto) e giunse, negli u= ltimi anni=20 della sua produzione scientifica, a sostenere - contro le sue idee origina= rie su=20 cui aveva fondato il suo progetto di ideografia - che non si pu=C3=B2 fond= are=20 l'aritmetica sulla sola logica, perch=C3=A9 tramite la logica sola non abb= iamo la=20 certezza che ci venga dato alcun oggetto. Il dibattito sui fondamenti dell= a=20 matematica segu=C3=AC la strada di Russell, anche se a tutt'oggi la discus= sione =C3=A8=20 ancora viva.

[torna= =20 all'indice]

 

9. Filosofia e teoria del significato: cos'=C3=A8 il significato di = un=20 enunciato?

 

Negli ultimi anni della sua produzione Frege si dedic=C3=B2 al chiarime= nto dei=20 fondamenti teorici delle sue scoperte; nel frattempo le sue idee si erano= =20 diffuse, specie tramite i Principia Mathematica di Russell e Whiteh= ead,=20 pubblicati nel 1910, che presentavano, con la notazione di Peano, alcune d= elle=20 idee fondamentali del pensiero di Frege, cui entro una certa misura erano = giunti=20 indipendentemente. Vi erano anche molti disaccordi con Frege, ma l'idea di= fondo=20 di un sistema assiomatico formale costituito da un linguaggio e da un calc= olo=20 era ormai consolidato; nel 1928 Hilbert e Ackerman presentano un sistema f= ormale=20 che, richiamandosi anche ai risultati di Frege e Russell, costituisce il=20 prototipo dei sistemi assiomatici moderni. Finisce con questi lavori l'et= =C3=A0=20 eroica della logica, e inizia una nuova fase, in cui i logici si interroga= no sul=20 significato e sui fondamenti dei formalismi da loro inventati: a partire d= agli=20 anni '30 si sviluppa cio=C3=A8 la metalogica, lo studio delle propr= iet=C3=A0 dei=20 sistemi logici: correttezza, coerenza, completezza. I primi risultati=20 fondamentali, che riprendono lavori di logici precedenti, saranno dati dai= =20 lavori di G=C3=B6del sulla correttezza e completezza del calcolo dei predi= cati del=20 primo ordine e sulla incompletezza del calcolo dei predicati di ordine=20 superiore.

Un altro aspetto peculiare caratterizza lo sviluppo della logica dagli = anni=20 '30 in poi: due grandi correnti si affiancano nello sviluppo degli studi l= ogici:=20 la semantica modellistica, ossia lo studio della interpretazione=20 semantica dei sistemi logici, sviluppata a partire dai lavori pionieristic= i di=20 Tarski, e la teoria della dimostrazione, ossia lo studio delle stru= tture=20 dimostrative a partire dai lavori di Hilbert e di Gentzen.

Questi lavori si intrecciano a una riflessione filosofica su cosa si in= tende=20 per "significato", riflessione che Frege per primo aveva inaugurato con la= =20 distinzione tra "senso" (Sinn) e "riferimento" (Bedeutung). = Carnap=20 per primo cerc=C3=B2 di definire in modo del tutto formale una differenza = tra due=20 aspetti delle espressioni del sistema formale, dando una explicatum dei co= ncetti=20 fregeani di senso e riferimento con i concetti di intensione ed=20 estensione. Anche Quine contribu=C3=AC a distinguere una teoria = del=20 senso da una teoria del riferimento. Una teoria del riferimento= (o=20 una teoria dell'estensione) =C3=A8 una teoria che, a ogni categoria semant= ica del=20 sistema formale, fa corrispondere un determinato tipo di oggetti (ai termi= ni=20 singolari individui del dominio, a predicati classi, a enunciati valori di= =20 verit=C3=A0). Parlare di teoria del riferimento =C3=A8 in pratica parlare = di semantica=20 modellistica. Una teoria del senso (o dell'intensione) dovrebbe invece def= inire=20 per ogni categoria semantica il suo senso. Dire in cosa consiste il senso = di=20 ogni espressione logico-linguistica =C3=A8 materia di dibattito attuale. D= al punto di=20 vista storico sono per=C3=B2 da ricordare due alternative ormai "classiche= " che si=20 sono differenziate per il modo di intendere il senso degli enunciati del n= ostro=20 linguaggio (o il senso dei connettivi logici). Su questa contrapposizione = sar=C3=A0=20 dunque utile fare alcuni cenni prima di lasciare spazio alla riflessione=20 metalogica che rappresenta il contributo pi=C3=B9 cospicuo e decisivo dell= a logica=20 contemporanea.

[torna= =20 all'indice]

 

9.1 Il significato come condizioni di verit=C3=A0: il Tractatus di=20 Wittgenstein -

Tra i principi fondamentali del lavoro di Frege vi =C3=A8 il princip= io di=20 composizionalit=C3=A0 (oggi detto "principio di Frege"): il senso di o= gni=20 espressione linguistica =C3=A8 funzione del senso delle parti; in particol= are il=20 senso di un enunciato =C3=A8 funzione del senso delle sue parti; e il sens= o di un=20 enunciato complesso =C3=A8 funzione del senso degli enunciati componenti. = Forse la=20 enunciazione storicamente pi=C3=B9 famosa del principio di composizionalit= =C3=A0 per gli=20 enunciati complessi (o principio di funzionalit=C3=A0) =C3=A8 data da Witt= genstein nel=20 Tractatus Logico-Philosophicus del 1921, quasi trent'anni dopo la=20 pubblicazione del primo volume dei Principi di Frege dove questo=20 principio, pur non enunciato in modo cos=C3=AC esplicito come nel Tractatu= s, era il=20 motore che faceva funzionare il sistema. Il principio appariva comunque gi= =C3=A0=20 negli scritti precedenti di Frege, e in particolare nell'articolo "Senso e= =20 Significato" del 1892. Nel Tractatus Wittgenstein definisce le tavo= le di=20 verit=C3=A0 come sono oggi usualmente intese, come una combinatoria formal= e di=20 possibilit=C3=A0 di verit=C3=A0/falsit=C3=A0 di enunciati. Dati n enunciat= i vi sono 2=20 2n possibilit=C3=A0 di combinazione dei = loro valori=20 di verit=C3=A0. Dati 2 enunciati vi sono 22 2 possibilit=C3=A0 di combinazione, cio=C3= =A8 16. Wittgenstein=20 elenca queste 16 possibilit=C3=A0 e mostra come ciascuna di queste possibi= lit=C3=A0=20 combinazioni di verit=C3=A0/falsit=C3=A0 pu=C3=B2 essere intesa come il si= gnificato delle=20 costanti logiche (o degli enunciati composti con esse). Si capovolge=20 l'impostazione intuitiva che viene spesso presentata nei testi introduttiv= i ala=20 logica: invece che partire dal significato intuitivo dei connettivi "e", "= o",=20 "se...allora", si parte dalle tavole di verit=C3=A0 decidendo che esse son= o il=20 significato del connettivo; il significato di "se...allora" sar=C3=A0 dunq= ue=20 identificato con la tavola di verit=C3=A0 del condizionale, che =C3=A8 sem= plicemente una=20 delle sedici possibili combinazioni di due proposizioni atomiche:

p q . . . . p =C3=86 q

V V . . . . .V

V F . . . . . F

F V . . . . .V

F F . . . . .V

 

Il significato di un enunciato (in questo caso l'enunciato "p =C3=86 q) =C3=A8 perfettamente determinato quando =C3= =A8 determinata la sua=20 tavola di verit=C3=A0; questa esprime le condizioni a cui l'enunciato =C3= =A8 vero o =C3=A8=20 falso. Dire che il significato di un enunciato sono le sue condizioni di v= erit=C3=A0=20 =C3=A8 intuitivamente molto accattivante: pare infatti ovvio che conosco i= l=20 significato di un enunciato quando so a quali condizioni esso =C3=A8 vero,= anche se=20 non ne conosco il valore di verit=C3=A0. Il valore di verit=C3=A0 viene co= nsiderato il=20 riferimento, o estensione, dell'enunciato; le condizioni di verit=C3=A0 ve= ngono=20 considerate il suo senso o intensione (in semantica modellistica pi=C3=B9= =20 precisamente l'intensione di un enunciato sar=C3=A0 una funzione da mondi = possibili a=20 estensioni, una funzione cio=C3=A8 che determina a quali condizioni un enu= nciato =C3=A8=20 vero a seconda di certi mondi possibili).

[torna= =20 all'indice]

 

9.2 Tautologie e contraddizioni -

Tra le condizioni di verit=C3=A0 elencate in ogni combinatoria possibil= e (anche=20 nella combinatoria di sedici possibili tavole di verit=C3=A0 per due propo= sizioni) vi=20 sono, nota Wittgenstein, due casi estremi: quando la tavola di verit=C3=A0= ha sempre=20 valore "vero" e quando ha sempre valore "falso". Wittgenstein, con una=20 innovazione terminologica che si =C3=A8 ormai depositata nel linguaggio fi= losofico=20 contemporaneo, chiama le proposizioni logicamente vere "tautologie" e quel= le=20 logicamente false "contraddizioni". Esempi classici sono, rispettivamente:=

 

tautologia: p v - p

contraddizione p & - p

La logica consiste di questo tipo di proposizioni: i teoremi della logi= ca=20 sono proposizioni sempre vere; in questi casi non si pu=C3=B2 per=C3=B2 pr= opriamente=20 parlare di "senso"; infatti non ho delle particolari condizioni a cui la=20 proposizione =C3=A8 vera o falsa; essa =C3=A8 sempre vera o sempre falsa a= prescindere da=20 qualsiasi condizione, a prescindere da qualsiasi stato del mondo; le=20 proposizioni della logica sono cio=C3=A8 indipendenti dall'esperienza; ess= e formano=20 l'impalcatura della nostra descrizione del mondo (per questi motivi Wittge= nstein=20 chiame tali proposizioni "prive di senso").

[torna= =20 all'indice]

 

9.3 Il significato come metodo di verifica -

 L'idea del significato di un enunciato come condizioni di verit= =C3=A0 si =C3=A8=20 imposta di fatto al mondo logico-filosofico come del tutto intuitiva e=20 accettabile. Da Frege a Montague essa resta un paradigma di filosofia. Ma = lo=20 stesso Wittgenstein, intorno agli anni '30, inizi=C3=B2 a dubitare della v= alidit=C3=A0=20 universale di questa definizione, insistendo sul fatto che il significato = di un=20 enunciato deve essere identificato con il metodo della sua verifica o dell= a sua=20 giustificazione. Generalizzando queste idee giunse infine al famoso slogan= "il=20 significato =C3=A8 l'uso". Si =C3=A8 molto discusso su come interpretare q= ueste=20 riflessioni di Wittgenstein. Alcuni autori le mettono accanto alle rifless= ioni=20 che Gentzen andava svolgendo negli anni '30 sulla deduzione naturale e sul= la=20 logica intuizionista, anche se non vi =C3=A8 un collegamento effettivo tra= i due=20 autori (si pu=C3=B2 forse parlare di "spirito del tempo").

Normalmente si contrappone la deduzione naturale di Gentzen al metodo d= elle=20 tavole di verit=C3=A0: Gentzen infatti sosteneva che la definizione (e noi= potremmo=20 anche dire il "significato") delle costanti logiche era dato dal loro uso= =20 effettivo, che si rispecchiava ne modo in cui le costanti logiche vengono= =20 introdotte o eliminate in una argomentazione. Se ho una giustificazione=20 indipendente di A e di B posso introdurre la loro congiunzione; se ho asse= rito=20 "A e B" posso eliminare la "e" e asserire ogni congiunto indipendentemente= ,=20 secondo schemi di questo tipo:

 

regola di introduzione della "&" regola dieliminazione della "&= "=20

A . . . . . . .B . . . . . . . . . . . . .A&B . . . . . . . . .A&am= p;=20 B

---------------- . . . . .. . . . . . . .-------- . . . . . . . -------= -

A& B . . . . . . . . . . . . . . . .. . . A . . . . . . . . . . . B=

 

Si pu=C3=B2 dire che questo =C3=A8 un modo perspicuo per mostrare cosa = si intende=20 dicendo che il significato =C3=A8 l'uso: il significato di "A e B" =C3=A8 = definito quando=20 si chiarisce come viene usato il connettivo "e" (o "& "), cio=C3=A8 co= me viene=20 introdotto e come viene eliminato nel corso di una argomentazione. Fin qui= per=C3=B2=20 abbiamo una visione del tutto corrispondente alla visione classica data co= n le=20 tavole di verit=C3=A0. Gentzen trova per=C3=B2 particolarmente utile il su= o calcolo della=20 deduzione naturale per la logica intuizionista, ove i connettivi della neg= azione=20 e del condizionale hanno un significato del tutto particolare: negare un=20 enunciato vuol dire che si pu=C3=B2 dimostrare che da esso segue un assurd= o;=20 analogamente asserire "p -> q" vuole dire che si ha una procedura che=20 permette di passare da una dimostrazione di p a una dimostrazione di q. Ne= lla=20 interpretazione intuizionista in particolare "p o non p" vuole dire qualco= sa=20 come "p =C3=A8 dimostrabile o p non =C3=A8 dimostrabile (giustificabile, v= erificabile,=20 asseribile)". Questo ovviamente non vale in assoluto, dato che - come la=20 matematica e la logica insegnano - vi sono casi di enunciati indecidibili,= che=20 non si possono n=C3=A9 dimostrare n=C3=A9 refutare. Quindi il principio de= l terzo escluso=20 non viene assunto tra i principi logici fondamentali della logica intuizio= nista.=20 Ma questo =C3=A8 un principio fondamentale della logica classica; questo m= ostra come=20 la logica classica sia strettamente legata all'idea del significato come=20 condizioni di verit=C3=A0: infatti in logica classica non si ha alcun inte= resse a=20 quali giustificazioni o dimostrazioni si possano dare di un enunciato: si = ha una=20 combinatoria di possibili verit=C3=A0 e falsit=C3=A0 e il senso di un enun= ciato =C3=A8 la=20 condizione a cui =C3=A8 vero, a prescindere dal fatto che siamo in grado d= i venire a=20 sapere se l'enunciato sar=C3=A0 mai vero. Ma se le condizioni di verit=C3= =A0 sono del=20 tutto al di fuori della nostra capacit=C3=A0 cognitiva, in cosa consiste=20 conoscere il senso, conoscere le condizioni di verit=C3=A0? = Una=20 risposta che segue le idee del secondo Wittgenstein =C3=A8 la seguente: co= nosco il=20 significato di un enunciato non quando conosco le sue condizioni di verit= =C3=A0, ma=20 quando ho un metodo per determinare qual'=C3=A8 la sua verit=C3=A0, quando= ho un metodo di=20 verifica o di giustificazione della verit=C3=A0 di tale enunciato. Un enun= ciato di=20 cui non ho alcun metodo di verifica =C3=A8 insensato, non deve far parte d= i un=20 linguaggio scientifico rigoroso. Conosco il significato di un enunciato=20 indecidibile non se conosco le sue condizioni di verit=C3=A0 (infatti non = =C3=A8 vero a=20 nessuna condizione), ma se ho un metodo per la sua dimostrazione (che mi=20 dimostra, appunto che non =C3=A8 n=C3=A9 asseribile n=C3=A9 refutabile).

 

9.4. Logica e filosofia - Da sempre logica e filosofia sono stat= e=20 strettamente intrecciate. Con la nascita della nuova forma in cui si =C3= =A8=20 sviluppata la logica, cio=C3=A8 la logica matematica, questo legame ha con= tinuato ad=20 approfondirsi in diversi modi. Per usare uno schema ancora oggi valido=20 didatticamente possiamo prendere come punto di riferimento il lavoro di=20 Wittgenstein:

 

(i) Il Tractatus Logico-philosophicus =C3=A8 stato il primo lavo= ro di=20 filosofia del linguaggio ispirato alla svolta logica di Frege. Esso ha avu= to una=20 grande influenza sullo sviluppo del neopositivismo e del neoempirismo: la= =20 distinzione delle proposizioni in logiche (tautologie e contraddizioni),=20 empiriche e metafisiche e in particolare il problema della demarcazione tr= a=20 enunciati sensati, e insensati =C3=A8 stato l=C3=95inizio di una discussio= ne che ha=20 ripercussioni ancora oggi in filosofia della scienza. Il neopositivismo ha= =20 irrigidito la distinzione analitico/sintetico (proposizioni logico-matemat= iche e=20 proposizioni empiriche), dando per=C3=B2 ad essa un ruolo fondamentale nel= la=20 discussione successiva, dalla critica di Quine, alla discussione di Carnap= e ai=20 pi=C3=B9 recenti dibattiti sulla difficolt=C3=A0 di distinguere tra dizion= ari ed=20 enciclopedie. La visione del significato di un enunciato come condizioni d= i=20 verit=C3=A0 come definito nel Tractatus =C3=A8 inoltre uno dei para= digmi classici=20 presenti in logica e filosofia.

(ii) La filosofia del "secondo" Wittgenstein ha influenzato prima di tu= tto=20 ancora una volta il movimento neopositivista e neoempirista sul tema del=20 significato di un enunciato come metodo della sua verifica. Il=20 "verificazionismo" sviluppato in questo contesto, pur dando adito a molte= =20 critiche (tra le prime quelle di Popper) =C3=A8 stato il punto di origine = di un=20 dibattito estremamente fecondo, specialmente nell=C3=95analisi del linguag= gio=20 scientifico. Ma dal verificazionismo neoempirista si deve distinguere quel= la che=20 si pu=C3=B2 chiamare "teoria verificazionista del significato", o anche "t= eoria=20 antirealista" del significato, che nasce da una fusione dei temi=20 wittgensteiniani con le problematiche della logica intuizionista e che =C3= =A8 stata=20 sviluppata da alcuni autori, tra cui prima di tutto Michael Dummett. Ne = =C3=A8 nata=20 una discussione su cosa si deve intendere per "realismo" oggi, e su come i= l=20 dibattito metafisico deve impegnarsi in una discussione di cosa si intenda= per=20 "significato". Questo =C3=A8 solo un esempio. Altri temi si sono sviluppat= i, come ad=20 es. il dibattito sull'essenzialismo aristotelico nato con la discussione d= ella=20 interpretazione semantica delle logiche modali data da Kripke, la discussi= one=20 sugli atti linguistici e gli aspetti pragmatici del linguaggio, il ruolo d= ei=20 nuovi formalismi informatici nello sviluppo della nostra visione della men= te e=20 della conoscenza, ecc. Dopo la svolta imposta dai lavori pionieristici di = Boole=20 e Frege, la logica e i suoi problemi tornano oggi ad avere un ruolo centra= le nel=20 dibattito attuale in filosofia.

[torna= =20 all'indice]

 

BIBLIOGRAFIA

 

E. Agazzi 1990 La logica simbolica, La Scuola, Brescia.

A. Bonomi 1971 (a cura di) La struttura logica del linguaggio,=20 Bompiani, Milano.

G. Boole 1847 The mathematical Analysis of Logic Being an Essay towa= rds a=20 Calculus of Deductive Reasoning, Macmillan, Cambridge; tr.it. di M.Mug= nai,=20 L'Analisi matematica della Logica, Bollati Boringhieri, Torino, 199= 2.

G. Boole 1854 An Investigation of the Laws of Thought, on which are= =20 founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities, Walton &= amp;=20 Maberley, London; tr.it. di M.Trichero, Indagine sulle leggi del=20 pensiero, Einaudi, Torino, 1976.

A. Bottani- C.Penco 1991 (a cura di) Significato e teorie del=20 linguaggio, Angeli, Milano.

U. Bottazzini 1990 Il flauto di Hilbert. Storia della matematica mod= erna e=20 contemporanea, UTET, Torino (dedica il cap. 8 a Boole = e il=20 cap.17 a Frege).

G. Frege 1879 Begriffsschrift; eine der arithmetischen nachgebildete= =20 Formelsprache des reines Denkens, Nebert, Halle (tr.it. Ideografia,= un=20 linguaggio in formule del pensiero puro, a imitazione di quello aritmetico= ,=20 in Frege 1965)

G. Frege 1891 Funktion und Begriff (articolo; tr.it. "funzione e= =20 conetto" in Ricerche Logiche, ed. Calderini, Bologna).

G. Frege 1892 =C3=9Cber Sinn und Bedeutung (articolo tr.it. in F= rege 1965=20 con il titolo Senso e Significato)

G. Frege 1893-1903 Grundgesetze der Arithmetik, vol.I-II, Jena.<= /P>

G. Frege 1965 Logica e Aritmetica, Scritti scelti a cura di C.=20 Mangione, Boringhieri, Torino, 1965.

G. Frege 1989 Alle Origini della Nuova Logica, Epistolario a cur= a di=20 C. Mangione, Boringhieri, Torino.

G. Frege 1991 Scritti Postumi, a cura di E. Picardi, Bibliopolis= ,=20 Napoli.

G.Gentzen 1935 "Ricerche sulla deduzione logica" in D.Cagnoni (a cura d= i)=20 Teoria della dimostrazione, Feltrinelli, Milano.

W.C.Kneale - M. Kneale 1962 The Development of Logic, Clarendon = Press,=20 Oxford; tr.it. di A.Conte, Storia della logica, Einaudi, Torino,=20 1972 (il migliore testo generale di storia della logica da= =20 Aristotele a Frege; accentua il ruolo centrale di Frege nella storia della= =20 logica).

G. W. Leibniz Scritti di logica, a cura di F.Barone, 2 voll., La= terza,=20 Bari, 1992.

C.Mangione-S.Bozzi, Storia della Logica da Boole ai giorni nostri,=20 Garzanti, Milano, 1993 (dedicano il cap.2, =C2=A74 Boole, = il cap.2,=C2=A7=20 7.1 al contrasto tra algebra della logica e calcoli logicisti, e il cap. 3= ,=C2=A74 a=20 Frege; pi=C3=B9 aggiornato del Kneale-Kneale sugli sviluppi recenti della = logica)=20

M. Mugnai 1982 La logica da Leibniz a Frege, Loescher, Firenze.<= /P>

C. Penco 199* Vie della scrittura. Frege e la svolta linguistica= ,=20 Angeli, Milano.

M.Santambrogio 1992 (a cura di) Introduzione alla filosofia analitic= a del=20 linguaggio, Laterza, Bari.

L. Wittgenstein 1921 Tractatus Logico-Philosophicus, ed.it. a cu= ra di=20 A. Conte, Einaudi, Torino, 1989.